也谈利率的计算公式

　　摘　　要

　　黄秀清，王立新。也谈利率的计算公式。数理统计与管理。1999，18（1），36～38

　　本文在起始不变原则、倍本原则和迭加原则假定下，得出资金率生长函数；指出其神同形异的两种表现形式；列出常用的单位时间利率——年利率、月利率、日利率三者之间的互换关系。

　　李炜同志与高俊科同志就“复利率的连续计算方法”在“数理统计与管理”上展开了讨论［1，2］。本文想就此问题谈谈个人的看法，以期引出明确而科学的认识。

　　Discussion on the Calculation of interest rate

　　Huang Xiuqien　Wang Lixin（Beijing Computer Center，CNSPC）

　　Abstract

　　In this paper，based on three assumptions we obtain the two growth functions for its interest，which have different form，but identical essentially.We establish the formula for calculation to transform the interest rates in year、month & day，from each to other. Key Words：Compound interest，Assumption of three principles，Growth function for a amount of principal and its interest，Interest rate in unit of time.

　　§1.资金率生长公式

　　设初始起存本金为A0元，t时间后的资金总额（本息合计）为A（A0，t）。这是一个二元连续函数。根据对储蓄存款内涵的分析研究，我们认为A（A0，t）应满足如下的三个假设条件：

　　首先，起始不变原则：即要求

　　A（A0，0）=A0　　（1）

　　其次，倍本原则：存期相同时的资金总额与初始本金成正比，其比例系数仅是与存期t有关的函数，记为f（t）。亦即要求

　　A（A0，t）=A0.f（t）　　（2）

　　第三，续存迭加原则：将起始本金A0、已存期t1的资金总额做为新本金，接续存t2时间后的新资金总额，应与原始本金A0、存期（t1+t2）时间的资金总额相等。即要求对任意的t1，t2皆有

　　A（A（A0，t1），t2）=A（A0，t1+t2）　　（3）

　　实际上，这第三条就是复利原则。

　　下面，我们来推导满足这三条假设的连续函数所具有的形式。

　　由（1）、（2）知

　　f（0）=1　　（4）

　　（2）代入（3）之左边得

　　A（A（A0，t1），t2）=A（A0.f（t1），t2）

　　=A0.f（t1）。f（t2）（5）

　　（2）代入（3）之右边得

　　A（A0，t1+t2）=A0.f（t1+t2）　　（6）

　　（5）与（6）结合而得出

　　f（t1+t2）=f（t1）。f（t2）　　（7）

　　记

　　f1≡f（1）　　（8）

　　由（7）可以进一步推出

　　f（t）=（f1）t　　（9）

　　A（A0，t）=A0（f1）t　　（10）

　　这只须使用函数的连续性，逐步对t为整数、分数、实数推证即可。上述属于生长函数之类，分别称为资金率生长函数和资金生长函数。

　　§2.单位时间利率之互换

　　我们回顾一下符号式的含意。A0为初始本金。A（A0，t）为存期t的资金总额。A（A0，t）-A0=A0（f（t）-1）为其存期t的利息。（A（A0，t）-A0）/A0=f（t）-1为存期t的利率。而（A（A0，1）-A0）/A0=f1-1≡r称为单位时间利率。其值为常数，随选择的单位时间不同而不同。分别可称为年利率，月利率，日利率，等等。请注意，这里的“率”一词是相对于本金的。

　　显然，利息的计算应与时间单位的选择无关，此即利率不变原理。由此可以推出不同时间单位的单位时间利率之间的换算关系。

　　比如：设年利率、月利率、日利率分别记为γy，γm，γd.显然，以年利率γy存期1年的资金总额，应等于以月利率γm存期12个月的资金总额，也应等于以日利率γd存期365天的资金总额。即

　　（1+γy）=（1+γm）12=（1+γd）365　　（11）

　　这就是利率不变原理。

　　从（11）可推出

　　γy=（1+γm）12-1=（1+γd）365-1　　（12）

　　γm=（1+γy）1/12-1=（1+γd）365/12-1　　（13）

　　γd=（1+γy）1/365-1=（1+γd）12/365-1　　（14）

　　在实际中，时间单位常常是看如何方便计算来决定的，往往与计息周期相同。

　　§3.资金率生长函数的两种表现形式

　　我们令

　　γ=f1-1　　（15）

　　代回到（9）就有

　　f（t）=（1+γ）t　　（16）

　　此即人们通常所说的“复利率计算公式”。

　　我们令

　　α=ln（f1）， f1=eα　　（17）

　　（9）就变成

　　f（t）=eαt　　（18）

　　此即人们通常所说的“复利率连续计算公式”。

　　其实，它们是同一个公式。除了形式不同外，没有本质的区别。仅是“貌异神同”而已！那种从（16）出发再利用近似、求极限而推导（18）的作法［1］只不过是“画蛇添足”而已。其次，这里的“复利率”一词用语并不恰当，它们应称为“资金率”计算公式，即单位本金及其利息和的计算公式。

　　请注意，其间已蕴含有

　　α=ln（1+γ）　　（19）

　　和

　　γ=eα-1　　（20）

　　α与γ是数值与含意皆不相同的两个量。前者是资金率生长函数的瞬间生长系数，“系数”一词是相对于时间的。后者是单位时间利率，即单位本金单位时间的利息。

　　最后，我们重申：f（t）不是利率函数，而是资金率函数。换句话说，f（t）不是单位本金之增加函数，而是单位本金及其利息和的生长函数。

　　作者单位：黄秀清　王立新　　（中国新星石油公司北京计算中心　北京　100083）

　　参考文献

　　［1］。李炜，1998，也谈复利率的连续计算方法，数理统计与管理，17（6）。

　　［2］。高俊科，1998，关于复利率的连续计算方法，数理统计与管理，17（2）：33-34.